МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи N 2 з курсу " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" Затверджено на засіданні кафедри "Системи автоматизованого проектування" Протокол N 14 від 03.04.1997 р. Львів 1999 МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ. Інструкція до лабораторної роботи N 2 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.08.04 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І., Чура І.І. - Львів: Видавництво ДУ "Львівська політехніка", 1999. - 12 с. Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц. Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц. Чура І.І., канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц. Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц. Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц. 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Формулювання задачі наближення функцій Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію
, якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відповідність одне дійсне число y з множини Y. На практиці часто трапляються випадки, коли знайти значення y для відповідних x досить важко. Крім того, часто аналітичний вираз функції
взагалі невідомий, а відомі лише її значення у скінченній кількості точок. Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень чи вимірювань в якому-небудь експерименті, або в результаті обчислень. Тому викликає потреба вихідну функцію
наближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією
, в певному розумінні близькою до
і такою, що простіше обчислюється чи досліджується. Тоді при всіх значеннях аргументу з множини Х вважають
Функцію
, називають апроксимуючою. Близькість функцій
і
можна, зокрема, оцінювати в метричних просторах за допомогою відстані
. По-різному вводячи відстань, дістають різні конкретні випадки задачі апроксимації. Часто апроксимуючу функцію
беруть у вигляді лінійної комбінації функцій деякого класу, які утворюють скінченну чи зчисленну множину
, причому будь-яка скінченна система елементів
лінійно незалежна. Тобто
беруть у вигляді:
, (1) де
– сталі коефіцієнти. Як функції
часто використовують многочлени. Функцію
в цьому випадку називають узагальненим многочленом. Надалі розглядатимемо наближення функцій узагальненими многочленами. У цьому випадку задачу апроксимації можна сформулювати так. Задано функцію f(x). Потрібно знайти такий узагальнений многочлен
, підібрати його коефіцієнти
, щоб відхилення (в деякому розумінні) функції f(x) від
на заданій множині Х було найменшим. Нехай у точках
з відрізку [а,в] відомі значення функції y=f(x):
. Розглянемо один з випадків апроксимації, що називається інтерполяцією. Суть його полягає в тому, що коефіцієнти
многочлена (1) добирають так, щоб у точках x
(i=0,1,..,n) значення функцій
і f(x) збігалися, тобто:
(i=0,1,..,n). (2) Точки x
(i=0,1,..,n) називаються вузлами інтерполювання, а многочлен
– інтерполяційним многочленом. Формулу y=
, знайдену для обчислення значень функції y=f(x), називають інтерполяційною. Задача інтерполювання матиме єдиний розв'язок, якщо при будь-якому розміщенні вузлів (серед яких немає таких, що збігаються
) визначник системи (2) не дорівнюватиме нулю. Системи функцій, які задовольняють таку умову, називають системами Чебишова. Очевидно, вимога лінійної незалежності системи
є необхідною умовою для того, щоб ця система функцій була системою Чебишова. При інтерполюванні узагальнений многочлен будують за деякою Чебишовською системою функцій. На практиці систему
часто беруть у вигляді послідовності невід'ємних степенів змінної x, тобто:
(i=0,1,..,n). Тут узагальнені многочлени є звичайними алгебраїчними м...